もりすの数学ブログ

大学入試数学の解説(仮)

2021 東京大学(理系) 数学 大問3 解答&解説

こんにちは。もりすです。

今回は、東京大学(理系)の大問3の解説を書いてみました。

大問3は微分法と積分法(数学Ⅲ)に関する問題ですね。

※ 東京大学では,問題文の2次利用は制限されていますので,解答のみの掲載となります.

過去問が公式HPから公表され次第,URLを添付します.それまでは,各予備校または新聞社のURLから問題文を見てください.

 

私の解答

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2021 東京大学(理系) 数学 大問2 解答&解説

こんにちは。もりすです。

今回は、東京大学(理系)の大問2の解説を書いてみました。

大問2は複素数平面(数学Ⅲ)に関する問題ですね。

※ 東京大学では,問題文の2次利用は制限されていますので,解答のみの掲載となります.

過去問が公式HPから公表され次第,URLを添付します.それまでは,各予備校または新聞社のURLから問題文を見てください.

 

私の解答

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2021 東京大学(理系) 数学 大問1 解答&解説

こんにちは。もりすです。

今回は、東京大学(理系)の大問1の解説を書いてみました。

大問1は軌跡と領域(数学Ⅱ)に関する問題ですね。

※ 東京大学では,問題文の2次利用は制限されていますので,解答のみの掲載となります.

過去問が公式HPから公表され次第,URLを添付します.それまでは,各予備校または新聞社のURLから問題文を見てください.

 

私の解答

 

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ベータ関数の積分公式の証明

こんにちは。もりすです。

今回は,2021の信大[5]でまとめていた「ベータ関数の積分公式」の証明についてまとめていこうと思います.

なお,本来のベータ関数は \displaystyle\textrm{B}(p,q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx という形ではありますが,ここでは分かりやすいように,以下のような式にしています.

(問題)

\forall(m,n)\in\mathbb{N}^2,\displaystyle \int_0^1 x^m(1-x)^n dx=\dfrac{m!\,\,n!}{(m+n+1)!} を証明せよ.

 

私の解答

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当ブログでの数式・数学記号の意味について

こんにちは。もりすです。

今回は,わたしのブログ内における数式の書き方を以下で述べたいと思います.

中には一般的でない書き方もありますので,一般的なものと私の書き方の2種類に分けて説明していきます.

 

(一般的な数式・数学記号)

\mathbb{N} … 自然数全体の集合 (私の場合は0は自然数に含めません.)

\mathbb{Z} … 整数全体の集合

\mathbb{Q} … 有理数全体の集合

\mathbb{R} … 実数全体の集合

\mathbb{C} … 複素数全体の集合

 \forall x\in A,~ … 「集合Aに属する任意のxに対して,~」という意味.

 \exists x\in A \,\,\, \textrm{s.t.}~ … 「~となるような集合Aに属するxが存在する」という意味.「\textrm{s.t.}」は,単に「;」と書かれることが多い.

 

(私の書き方) ※一般的ではないので,注意してください.

\mathbb{P} … 素数全体の集合

\mathbb{Z} \backslash \mathbb{N} … 0以下の整数全体の集合

\mathbb{Z}_{\geq0}\mathbb{N}_0\mathbb{W}… 非負整数全体の集合

p\mathbb{N} … p の倍数の自然数全体の集合

p\mathbb{Z} … p の倍数の整数全体の集合

\mathbb{N}\backslash p\mathbb{N} … p の倍数を除く自然数全体の集合

\mathbb{Z}\backslash p\mathbb{Z} … p の倍数を除く整数全体の集合

\mathbb{N}^2 … 自然数格子点全体の集合

\mathbb{Z}^2 … 格子点全体の集合

\mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z} … (整数を除く)既約分数全体の集合 (滅多に使いません)

\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\mathbb{J} … 無理数全体の集合

\mathbb{C} \backslash \mathbb{R} … 虚数全体の集合

 

(例)

3n(n+1)=56について,

(左辺)\in 3\mathbb{Z},(右辺)\in \mathbb{Z}\backslash 3\mathbb{Z}

という文章の二行目は,「左辺は3の倍数,右辺は3の倍数ではない整数」という意味になります.

 

2021の信大の解説は,極力これらの記号を用いず説明しましたが,これ以降の記事ではこれらの記号を使って説明していきますので,もし読んでいて「ん?」となった方は,この記事を思い出して訪れていただけると嬉しいです.私の下書き用ノートや計算用紙がすべてこの記述に統一していますので…すみません.(・・;)

なお,一般的な書き方は「大半の数学書ではこのような書き方をしている」ものであるので,大学入試で書いても問題ないですが,私の書き方は「独自スタイル」ですので,答案に書く際は,きちんと記号の説明をすると良いでしょう.

 

ここまで見ていただきありがとうございました。

それでは,また次回の記事で。

2021 信州大学(医・理・経・工) 数学 大問7 解答&解説

こんにちは。もりすです。

今回は、信州大学(前期) [医・理・経・工]共通数学の大問7の解説を書いてみました。

大問7は極限・微分法・積分法(数学Ⅲ)に関する問題ですね。

(問題)

実数全体を定義域とする関数 f(x) は,全ての実数 a,b に対し,

f(a+b)=f(a)+f(b)+4ab

を満たすとする.さらに,関数 f(x)x=0微分可能で, f'(0)=2 であるとする.このとき,以下の問いに答えよ. 

(1)  f(0) の値を求めよ.

(2)  関数 f(x)区間  (-∞,∞)微分可能であることを示せ.また,関数 f(x) を求めよ.

(3)  関数 \displaystyle g(x)=\int_1^x \dfrac{1}{f(t)} dt (x\gt1) の極限 \displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) を求めよ.

 

私の解答

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2021 信州大学(医・理・経・工) 数学 大問6 解答&解説

こんにちは。もりすです。

今回は、信州大学(前期) [医・理・経・工]共通数学の大問6の解説を書いてみました。

大問6は微分法と積分法の応用(数学Ⅲ)に関する問題ですね。

(問題)

a,b,c を定数とする.関数 f(x)=a\sin x+b\cos x+c\sin 2x は, x=\dfrac{π}{4} で極大値 6\sqrt2+\sqrt3 をとるとする.また,\displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^\frac{π}{2} f(x)dx=12 であるとする.このとき, a,b,c の値を求めよ.また,区間 -π≦x≦π における f(x) の最小値を求めよ.

 

私の解答

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