もりすの数学ブログ

大学入試数学の解説(仮)

2021　信州大学(医・理・経・工)　数学　大問１　解答＆解説

2021　信州大学(前)　数学

こんにちは。もりすです。

今回は、信州大学(前期)　[医・理・経・工]共通数学の大問１の解説を書いてみました。

大問１はデータの分析(数学Ⅰ)に関する問題ですね。

(問題)

(1) 　

　2つの変量 $x,y$ のデータが，5 個の $x,y$ の値の組として次のように与えられているとする．

f:id:yun_moris:20210303180005p:plain

$x,y$ の相関係数を求めよ．

(2)

　20 個の値からなるデータがある．そのうちの 15 個の値の平均値は 10 で分散は 5 であり，残りの 5 個の値の平均値は 14 で分散は 13 である．このデータの平均値と分散を求めよ．

私の解答

(1) 　

$x,y$ の平均を $\overline{x} , \overline{y}$ ，分散を $s^{2}_{x} , s^{2}_{y}$ ，共分散を $s_{xy}$ ，相関係数を $r$ とする．　　

$\overline{x}=\dfrac{12+14+11+8+10}{5}=11$

$\overline{y}=\dfrac{11+12+14+10+8}{5}=11$

f:id:yun_moris:20210303005825p:plain — 表

この表から， $s^{2}_{x} =\dfrac{20}{5}=4$ ， $s^{2}_{y}=\dfrac{20}{5}=4$ ， $s_{xy}=\dfrac{9}{5}$

よって， $r=\dfrac {s_{xy}}{s_{x}s_{y}}=\dfrac {\dfrac {9}{5}}{\sqrt {4}\sqrt {4}}=\dfrac {9}{20}$ 　…(答)

(2) 　20個のデータの合計は， $10\times 15+5\times 14=220$ 　　よって，このデータの平均値は， $\dfrac{220}{20}=11$ 　…(答)

15 個の値の 2 乗の平均値を $a$ とすると，分散の公式から　　

$a-10^{2}=5$

∴ 　 $a=105$

残りの5個の値の 2 乗の平均値を $b$ とすると，同様にして　　

$b-14^{2}=13$ 　　

∴　 $b=209$

よって，20 個のデータの 2 乗和は　 $15a+5b=1575+1045=2620$

∴　このデータの分散は　 $\dfrac{2620}{20}-11^{2}=131-121=10$ 　…(答)

いかがでしょうか。

特定データの相関係数と不特定データの平均・分散を求める問題でした。

解いた感想は、「ザ・教科書問題」でした。毎年第１問は教科書の内容がきちんと定着できているかの問題になりますが、今年もそうでしたね。

(2)の分散が一度解いたことがないと厳しいかなと思います。

分散の公式　 $s^{2}_{x}=\overline {x^{2}}-\left( \overline {x}\right)^{2}$

から、自分で文字を置いて解き進める流れを覚えていたら解けたかなと思います。

ここまで見ていただき、ありがとうございました。

それでは。大問２以降は次回の記事で。