もりすの数学ブログ

大学入試数学の解説(仮)

2021　信州大学(医・理・経・工)　数学　大問６　解答＆解説

2021　信州大学(前)　数学

こんにちは。もりすです。

今回は、信州大学(前期)　[医・理・経・工]共通数学の大問６の解説を書いてみました。

大問６は微分法と積分法の応用(数学Ⅲ)に関する問題ですね。

(問題)

$a，b，c$ を定数とする．関数 $f(x)=a\sin x+b\cos x+c\sin 2x$ は， $x=\dfrac{π}{4}$ で極大値 $6\sqrt2+\sqrt3$ をとるとする．また， $\displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^\frac{π}{2} f(x)dx=12$ であるとする．このとき， $a，b，c$ の値を求めよ．また，区間 $-π≦x≦π$ における $f(x)$ の最小値を求めよ．

私の解答

$f(x)=a\sin x+b\cos x+c\sin 2x$ より，

$f'(x)=a\cos x-b\sin x+2c\cos 2x$

$x=\dfrac{π}{4}$ で極大値 $6\sqrt2+\sqrt3$ をとるので，

(A) 　 $f\left(\dfrac{π}{4}\right)=6\sqrt2+\sqrt3$ ，　(B)　 $f'\left(\dfrac{π}{4}\right)=0$

(A)より， $\dfrac{a}{\sqrt2}+\dfrac{b}{\sqrt2}+c=6\sqrt2+\sqrt3$ 　　　　　　

$a+b+\sqrt2 c=12+\sqrt6$ 　……①

(B)より， $\dfrac{a}{\sqrt2}-\dfrac{b}{\sqrt2}=0$

$a-b=0$ 　……　②

また， $\displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^\frac{π}{2} f(x)dx=12$ なので，

(C)　 $\displaystyle \int_{-\frac{π}{2}}^\frac{π}{2} a\sin x+b\cos x+c\sin 2xdx=12$ 　

$y_1=a\sin x$ と $y_2=c\sin 2x$ は， $a\sin(-x)=-a\sin x=-y_1 ， c\sin(-2x)=-c\sin 2x=-y_2$ より，どちらも奇関数で， $y_3=b\cos x$ は， $b\cos(-x)=b\cos x=y_3$ より，偶関数である．

このことから，

( (C) の左辺 )＝ $\displaystyle 2\int_0^\frac{π}{2} b\cos x dx$

$=2b[\sin x]_0^{\frac{π}{2}}=2b$ となる．

よって，(C)の式は， $2b=12$ 　　

∴　 $b=6$ 　……　③

③を②に代入して　 $a=6$ 　……　④

③，④を②に代入して， $12+\sqrt2 c=12+\sqrt6$ 　　

∴　 $c=\sqrt3$

以上より， $(a，b，c)=(6，6，\sqrt3)$ 　…(答)

$f'(x)=6\cos x-6\sin x+2\sqrt3 \cos{2x}$

$=6(\cos x-\sin x)+2\sqrt3 (\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)$ 　　

$=6\sqrt2\sin \left(x+\dfrac{3}{4}π\right)+2\sqrt3 \cdot \sqrt2 \sin \left(x+\dfrac{π}{4}\right)\cdot\sqrt2 \sin \left(x+\dfrac{3}{4}\pi\right)$

$= 2\sqrt3\sin\left(x+\dfrac{3}{4}π\right)$ $\left\{ \sqrt6+2\sin \left(x+\dfrac{π}{4}\right) \right\}$

より， $f'(x)=0$ を $-π≦x≦π$ で解くと，

$\sin\left(x+\dfrac{3}{4}π\right)=0$ 　より， $x=-\dfrac{3}{4}π，\dfrac{π}{4}$

また， $\sqrt6+2\sin\left(x+\dfrac{π}{4}\right)=0$ については， $\sin\left(x+\dfrac{π}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt6}{2}\lt-1$ なので，この等式を満たす実数 $x$ は存在しない．

以上より， $-π≦x≦π$ における $f(x)$ の増減表は以下の通り．

f:id:yun_moris:20210305235413p:plain

よって， $f(x)$ の最小値は $x=-\dfrac{3}{4}$ のときの $-6\sqrt2+\sqrt3$ 　…(答)

いかがでしょうか。

解いた感じは，入試基礎～標準の問題かなという印象でした．

前半は与えられた条件を順に追って立式して，連立方程式を解けばOKです．積分の式は奇関数・偶関数の公式を適用できると良いでしょう．

〇　奇関数・偶関数の積分について，

①　 $f(x)$ が奇関数のとき， $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)dx=0$

②　 $f(x)$ が偶関数のとき， $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x)dx=2\int_{0}^{a} f(x)dx=2\int_{-a}^{0} f(x)dx$

後半は， $f'(x)=0$ を解くのに，その場にあった加法定理の式と合成を使えたかどうかが勝負を分けるでしょう．

ここまで見ていただきありがとうございました。

それでは，大問７は次回の記事で．