ベータ関数の積分公式の証明 - もりすの数学ブログ

こんにちは。もりすです。

今回は，2021の信大[5]でまとめていた「ベータ関数の積分公式」の証明についてまとめていこうと思います．

なお，本来のベータ関数は $\displaystyle\textrm{B}(p，q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx$ という形ではありますが，ここでは分かりやすいように，以下のような式にしています．

(問題)

$\forall(m,n)\in\mathbb{N}^2，\displaystyle \int_0^1 x^m(1-x)^n dx=\dfrac{m!\,\,n!}{(m+n+1)!}$ 　を証明せよ．

私の解答

数学的帰納法の考えを使います．ただ，変数が２つあるので， $n=1$ で固定して先に $m$ の方で直接片付けてから $n$ の方を帰納法で片付ける方針で行きます．

つまり，

$\displaystyle \int_0^1 x^m(1-x) dx=\dfrac{m!}{(m+2)!}$ 　…(※)

を示してから，題意を示す方針になります．

(※)について，

(左辺) $\displaystyle =\int_0^1 x^{m}(1-x) dx=$ $\displaystyle \int_0^1 x^{m}-x^{m+1} dx=$ $\begin{bmatrix}\dfrac{x^{m+1}}{m+1}-\dfrac{x^{m+2}}{m+2}\end{bmatrix}_0^1$ $=\dfrac{1}{(m+2)(m+1)}$

(右辺) $=\dfrac{m!}{(m+2)(m+1)\cdot m!}$ $=\dfrac{1}{(m+2)(m+1)}$

よって，(左辺)＝(右辺)なので，(※)は正しい．

これを利用して，題意を示す．

$n=1$ のときは，(※)より成り立つ．

ある $n$ で成立を仮定する．

$\displaystyle I_{m,n}=\int_0^1 x^m(1-x)^n dx$ とおく．

$n+1$ のとき，

$I_{m,n+1}=$ $\displaystyle \int_0^1 x^m(1-x)^{n+1} dx$ $\displaystyle=\int_0^1 x^m(1-x)^{n}(1-x) dx$ $\displaystyle=\int_0^1 \left\{x^{m} \left(1-x\right)^{n}-x^{m+1}(1-x)^n\right\} dx$ $\displaystyle=\dfrac{m!\,\,n!}{(m+n+1)!}-\begin{bmatrix} x^{m+1}\cdot -\dfrac{(1-x)^{n+1}}{n+1}\end{bmatrix}_0^1 +\int_0^1\left\{(m+1)x^m\cdot\dfrac{-1}{n+1}(1-x)^{n+1}\right\}dx$ $\displaystyle=\dfrac{m!\,\,n!}{(m+n+1)!}-\dfrac{m+1}{n+1}\int_0^1 x^m(1-x)^{n+1}$ $=\dfrac{m!\,\,n!}{(m+n+1)!}-\dfrac{m+1}{n+1}I_{m,n+1}$