2021　東京大学(理系)　数学　大問２　解答＆解説

こんにちは。もりすです。

今回は、東京大学(理系)の大問２の解説を書いてみました。

大問２は複素数平面(数学Ⅲ)に関する問題ですね。

※　東京大学では，問題文の2次利用は制限されていますので，解答のみの掲載となります．

過去問が公式HPから公表され次第，URLを添付します．それまでは，各予備校または新聞社のURLから問題文を見てください．

私の解答

(1)　

$f(0)=\alpha，f(1)=\beta，f(i)=\gamma$ 　より，

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}c=\alpha　…①\\a+b+c=\beta　…②\\-a+bi+c=\gamma　…③\end{array}\right.$

①を②，③に代入して，

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} a+b=\beta -\alpha \\-a+bi=\gamma-\alpha \end{array}\right.$

これを解いたものと①を合わせて，

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a=-i\alpha +\dfrac{1+i}{2}\beta -\dfrac{1-i}{2}\gamma　\\b=-(1-i)\alpha +\dfrac{1-i}{2}\beta +\dfrac{1-i}{2}\gamma　\\c=\alpha　\end{array}\right.$ 　…(答)

(2)

$f(2)=4a+2b+c$ $=-4i\alpha +2(1+i)\beta -2(1-i)\gamma -2(1-i)\alpha+(1-i)\beta +(1-i)\gamma +\alpha$ $=(-1-2i)\alpha +(3+i)\beta +(-1+i)\gamma$

ここで，複素数 $z$ の実部を $\textrm{Re}\,z$ ，虚部を $\textrm{Im}\,z$ と書くことにすると，

$\left(\begin{array}{c}\textrm{Re}\,f(2) \\ \textrm{Im}\,f(2)\end{array}\right)$ $=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -2\end{array}\right)\alpha+\left(\begin{array}{c}3 \\ 1\end{array}\right)\beta+\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right)\gamma$

$\textrm{A}\,(-1-2i)$ ， $\textrm{B}\,(3+i)$ ， $\textrm{A}\,(-1+i)$ とすると，

$\left(\begin{array}{c}\textrm{Re}\,f(2) \\ \textrm{Im}\,f(2)\end{array}\right)$ $=\alpha \overrightarrow{\textrm{OA}}+\beta\overrightarrow{\textrm{OB}}+\gamma\overrightarrow{\textrm{OC}}$