2021　東京大学(理系)　数学　大問３　解答＆解説

こんにちは。もりすです。

今回は、東京大学(理系)の大問３の解説を書いてみました。

大問３は微分法と積分法(数学Ⅲ)に関する問題ですね。

※　東京大学では，問題文の2次利用は制限されていますので，解答のみの掲載となります．

過去問が公式HPから公表され次第，URLを添付します．それまでは，各予備校または新聞社のURLから問題文を見てください．

私の解答

(1)　

$f'(x)=\dfrac{x^2+3-x\cdot 2x}{(x^2+3)^2}$ $=-\dfrac{x^2-3}{(x^2+3)^2}$

∴　 $g(x)=-\dfrac{1^2-3}{(1^2+3)^2}(x-1)+\dfrac{1}{1^2+3}$ $=\dfrac{1}{8}(x-1)+\dfrac{1}{4}$ $=\dfrac{1}{8}x+\dfrac{1}{8}$

$f(x)=g(x)$ を解く．すなわち， $\dfrac{x}{x^2+3}=\dfrac{1}{8}x+\dfrac{1}{8}$

これを展開して， $x^2+3>0$ に注意しながら整理すると， $x^3+x^2-5x+3=0$

すなわち， $(x-1)^2(x+3)=0$

これを解くと， $x=1，-3$ のみなので， $\textrm{A}$ 以外に $C$ と $l$ は交点を唯一つ有し，それは $x=-3$ である．…(答)

(2)

(1)より $\alpha=-3$ なので，求める積分は，

$\displaystyle\int_{-3}^1 \left\{f(x)-g(x)\right\}^2 dx$ $\displaystyle=\int_{-3}^1 \left(\dfrac{x}{x^2+3}-\dfrac{x}{8}-\dfrac{1}{8}\right)^2 dx$

ここで，被積分関数を $h(x)$ とおくと，

$h(x)=\dfrac{x^2}{(x^2+3)^2}+\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{1}{64}-\dfrac{x^2}{4(x^2+3)}+\dfrac{x}{32}-\dfrac{x}{4(x^2+3)}$ $=\dfrac{x^2}{(x^2+3)^2}+\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{1}{64}-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4(x^2+3)}\right)+\dfrac{x}{32}-\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{(x^2+3)'}{x^2+3}$

まず， $\displaystyle\int_{-3}^1 \left\{\dfrac{x^2}{(x^2+3)^2}+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{x^2+3}\right\} dx$ に関しては，

$x=\sqrt{3}\tan\theta$ とおくと，

$dx=\sqrt{3}(\tan^2\theta+1)d\theta$ 　

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∴　(与式) $=\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}\left\{\dfrac{3\tan^2\theta}{9(\tan^2\theta+1)^2}+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{3(\tan^2\theta+1)}\right\}\cdot\sqrt3(\tan^2\theta+1)d\theta$ $\displaystyle=\dfrac{\sqrt3}{3}\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}\frac{\tan^2\theta}{\tan^2\theta+1}d\theta+\dfrac{\sqrt3}{4}\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} d\theta$ $=\displaystyle\dfrac{\sqrt{3}}{3}\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}\cdot \cos^2\theta d\theta+\dfrac{\sqrt3}{4}\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}\right)$ $\displaystyle=\dfrac{\sqrt3}{3}\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}} \dfrac{1-\cos2\theta}{2}d\theta+\dfrac{\sqrt3}{8}\pi$ $\displaystyle=\dfrac{\sqrt3}{3}\begin{bmatrix}\dfrac{\theta}{2}-\dfrac{\sin2\theta}{4}\end{bmatrix}_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{6}}+\dfrac{\sqrt3}{8}\pi$ $\dfrac{\sqrt3}{6}\cdot\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\sqrt3}{12}\cdot\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\right)+\dfrac{\sqrt3}{8}\pi$ $=\dfrac{5\sqrt3}{24}\pi-\dfrac{1}{4}$

次に， $\displaystyle\int_{-3}^1 \left\{\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{x}{32}-\dfrac{15}{64}-\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{(x^2+3)'}{x^2+3}\right\} dx$ は，

(与式) $=\displaystyle\begin{bmatrix}\dfrac{x^3}{192}+\dfrac{x^2}{64}-\dfrac{15}{64}x-\dfrac{1}{8}\log(x^2+3)\end{bmatrix}_{-1}^3$ $=\dfrac{28}{192}-\dfrac{8}{64}-\dfrac{15}{64}\cdot4-\dfrac{1}{8}(\log4-\log12)$ $=\dfrac{7-6-45}{48}-\dfrac{1}{8}\log{\dfrac{1}{3}}$ $=-\dfrac{11}{12}+\dfrac{\log3}{8}$