2021　信州大学(医・理・経・工)　数学　大問７　解答＆解説

こんにちは。もりすです。

今回は、信州大学(前期)　[医・理・経・工]共通数学の大問７の解説を書いてみました。

大問７は極限・微分法・積分法(数学Ⅲ)に関する問題ですね。

(問題)

実数全体を定義域とする関数 $f(x)$ は，全ての実数 $a，b$ に対し，

$f(a+b)=f(a)+f(b)+4ab$

を満たすとする．さらに，関数 $f(x)$ は $x=0$ で微分可能で， $f'(0)=2$ であるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 　 $f(0)$ の値を求めよ．

(2) 　関数 $f(x)$ は区間 $(-∞，∞)$ で微分可能であることを示せ．また，関数 $f(x)$ を求めよ．

(3) 　関数 $\displaystyle g(x)=\int_1^x \dfrac{1}{f(t)} dt$ $(x\gt1)$ の極限 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x)$ を求めよ．

私の解答

(1) 　条件式に $a=b=0$ を代入すると，　　

$f(0)=f(0)+f(0)$ より， $f(0)=0$ 　…(答)

(2) 　 $f(x)$ の導関数を $f'(x)$ とするとき，　　

条件より， $x=0$ が微分可能であるので， $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(h)}{h}=f'(0)$ が存在する．　　　

∴　 $\displaystyle\lim_{b\to 0}\dfrac{f(a+b)-f(a)}{b}$

$=\displaystyle\lim_{b\to 0}\dfrac{f(a)+f(b)+4ab-f(a)}{b}$ 　(∵　条件)

$＝ \displaystyle\lim_{b\to 0}\left(\dfrac{f(b)}{b}+4a\right)$

$=f'(0)+4a$ 　　

よって， $f(x)$ は区間 $(-∞，∞)$ で微分可能である．■ 　　

上の式より， $f'(a)=f'(0)+4a$ 　　

条件より， $f'(x)=4x+2$ なので，　　

$\displaystyle f(x)=\int f'(x)dx=2x^2+2x+C$ 　(ただし， $C$ は積分定数) 　　

(1) より， $f(0)=0$ なので， $C=0$ 　　

したがって， $f(x)=2x^2+2x$ 　…(答)

(3) 　 $\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{1}{2x(x+1)}$

ここで， $\dfrac{1}{2x(x+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x+1}$ を満たすような実数 $A，B$ を求めると，

(右辺) $=\dfrac{A(t+1)+Bt}{t(t+1)}=\dfrac{(A+B)t+A}{t(t+1)}$

これが， $\dfrac{\dfrac{1}{2}}{t(t+1)}$ と恒等であればよいので，

$\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} A + B = 0 \\ A = \dfrac{1}{2} \end{array} \right. \end{eqnarray}$

すなわち， $(A，B)=\left(\dfrac{1}{2}，-\dfrac{1}{2}\right)$

∴　 $\displaystyle g(x)=\dfrac{1}{2} \int_1^x \left(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{t+1}\right)dt$

$＝ \dfrac{1}{2} \begin{bmatrix}\log{t}-\log{(t+1)}\end{bmatrix}_1^x$

$=\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix}\log{\dfrac{t}{t+1}}\end{bmatrix}_1^x$ 　　　　

$＝ \dfrac{1}{2}\left(\log{\dfrac{x}{x+1}}-\log{\dfrac{1}{2}}\right)$ 　　

ここで， $\displaystyle\lim_{x \to ∞}\dfrac{x}{x+1}=1$ なので， $\displaystyle\lim_{x \to ∞}\log{\dfrac{x}{x+1}}=0$

∴　 $\displaystyle\lim_{x \to ∞}g(x)=-\dfrac{1}{2}\log{\dfrac{1}{2}}$

$=\dfrac{\log2}{2}$ 　…(答)

いかがでしょうか。

解いた感じは，入試標準問題という印象でした．

本問のトピックは関数方程式ですね．この手の問題は毎年どこかしらの大学で出題されているテーマです．

(2)は微分の定義式を用いて，条件の関係式と「 $f'(0)$ が存在すること」をうまく使えたかどうかが勝負を分けるでしょう．(3)は広義積分と呼ばれるもので，信大が好きなテーマの１つでもあります．今回の問題は部分分数分解をする基本積分と分数関数の基本極限ですので， $f(x)$ が求められていたらサービス問題でしょう．