もりすの数学ブログ

大学入試数学の解説(仮)

2021　信州大学(医・理・経・工)　数学　大問２　解答＆解説

2021　信州大学(前)　数学

こんにちは。もりすです。

今回は、信州大学(前期)　[医・理・経・工]共通数学の大問２の解説を書いてみました。

大問２は図形と方程式・微分(数学Ⅱ)に関する問題ですね。微分を習っていない生徒も解ける問題です。

(問題)

座標平面において，円 $C$ は $x＞0$ の範囲で $x$ 軸と接しているとする．円 $C$ の中心を $\textrm{P}$ ，円 $C$ と $x$ 軸との接点を $\textrm{Q}$ とする．また，円 $C$ は，放物線 $y=x^{2}$ と共通の接線を持つ．このとき， $△\textrm{PQR}$ の面積を求めよ．

私の解答

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$\textrm{P}$ $\left(a,b\right)$ とすると，円 $C$ の式は $x$ 軸と接しているので，

$\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=b^{2}$ 　

となり， $\textrm{Q}$ $\left(a,0\right)$ である． $\left(a＞0\right)$

点 $\textrm{R}$ での $y=x^2$ での接線と，円 $C$ での接線が一致しているので，

①　 $y=x^2$ の点 $\textrm{R}$ での接線の方程式は $y'=2x$ より，

$y=2\sqrt{2}\left(x-\sqrt{2}\right)+2$

　＝ $2\sqrt{2}x-2$

∴　 $2\sqrt{2}x-y=2$ 　……　①'

②　円 $C$ の点 $\textrm{R}$ での接線の方程式は，

$\left(\sqrt{2}-a\right)\left(x-a\right)+\left(2-b\right)\left(y-b\right)=b^2$

∴　 $\left(\sqrt{2}-a\right)x+\left(2-b\right)y=\left(\sqrt{2}-a\right)a+2b$ 　……　②'

①' と ②' が一致するので，

$2\sqrt{2}:\left(-1\right):2=\left(\sqrt{2}-a\right):\left(2-b\right):\left(\sqrt{2}-a\right)a+2b$

$2\sqrt{2}:1=\left(\sqrt{2}-a\right):\left(b-2\right)$ より， $2\sqrt{2}b-4\sqrt{2}=\sqrt{2}-a$

∴　 $a+2\sqrt{2}b=5\sqrt{2}$ 　……　③

$1:2=\left(b-2\right):\left(\sqrt{2}-a\right)a+2b$ より， $-a^2+\sqrt{2}a+2b=2b-4$

∴　 $a^2-\sqrt{2}a-4=0$ 　……　④

④について， $\left(a+\sqrt{2}\right)\left(a-2\sqrt{2}\right)=0$

これを $a＞0$ に注意して解いて， $a=2\sqrt{2}$ 　……　⑤

⑤を③に代入して， $b=\dfrac{3}{2}$

よって， $△\textrm{PQR}$ の面積は，

$\textrm{R}$ から直線 $\textrm{PQ}$ 向かって垂線を下ろしたときの交点を $\textrm{H}$ とすると，

$\textrm{PQ}= b=\dfrac{3}{2}$ ， $\textrm{RH}= a-\left(\textrm{R}のx座標\right)=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$ なので，

$△\textrm{PQR}＝ \dfrac{1}{2}・\textrm{PQ・RH}=\dfrac{1}{2}・\dfrac{3}{2}・\sqrt{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}$ 　…(答)

いかがでしょうか．

私の解いてみた感じは、入試基礎~標準の問題かなと思いました．

順序をきちんと追っていけば難しくないです．

「２つの線分が一致するとき」を対処するときに係数を＝で繋がず、比を使って対応するのが最大のポイントです．

２つの直線 $ax+by+c=0とa'x+b'y+c'=0$ が平行になる条件は $ab'=a'b$

でしたが，これは $a:a'=b:b'$ と同じになりますね．

なので，この２直線が一致する条件は $a:b:c=a':b':c'$ になります．

現に， $x+y+1=0と2x+2y+2=0$ は同じ直線ですよね。係数は違いますが、比は同じなので同一直線になるわけです．

ちなみに、①の部分で微分を使わない場合は，

$y=x^2$ と $y=a\left(x-\sqrt{2}\right)+2$ との共有点の個数が1個になればよいので，

$x^2=a\left(x-\sqrt{2}\right)+2$ の判別式が0となる $a$ の値を求めればOK.

同じように $a=2\sqrt{2}$ が出てきます.

ここまで見ていただきありがとうございました.

それでは、大問３以降は次回の記事で.